Альфред Тарський, уроджений Альфред Тейтельбаум, народився 14 січня 1901 року у Варшаві, Польща, в заможній єврейській родині. У 1923 році, після переходу в католицизм, він узяв прізвище Тарський. До 1939 року був пов’язаний із польською школою логіки та філософії, а з 1939 року оселився у Сполучених Штатах Америки, де жив і викладав до самої смерті. Помер 26 жовтня 1983 року в Берклі, Сполучені Штати.
Тарський зробив значний внесок у теорію множин, багатозначну логіку, інтерпретованість, рівні мови, метамову та семантичні концепції. Його еміграція врятувала його від долі більшості членів родини, які загинули під час нацистської окупації Польщі. Серед його праць — «Вступ до логіки та методології дедуктивних наук» (1941) і «Семантична концепція істини та основи семантики» (1944). Після Другої світової війни він вплинув на все логічне дослідження.
- Як склалися життя та наукова діяльність Альфреда Тарського після зміни прізвища й переїзду до США?
- Які результати Альфреда Тарського стосувалися рішуваності, теорії чисел і алгебри?
- Як Альфред Тарський розвивав логіку, семантику та теорію моделей?
- Як Альфред Тарський розробив семантичну теорію істини?
- У чому полягає відмінність між об’єктною мовою та метамовою в семантичній теорії істини?
- Що означає умова матеріальної адекватності в теорії істини Альфреда Тарського?
- Як Альфред Тарський пояснював істинність англійського речення «Сніг білий»?
- Як Альфред Тарський сформулював семантичну теорію істини і до чого вона застосовується?
Життя та наукова діяльність Альфреда Тарського
Альфред Тарський, уроджений Альфред Тейтельбаум, народився 14 січня 1901 року у Варшаві, Польща, в заможній єврейській родині. У 1923 році, після переходу в католицизм, він прийняв прізвище Тарський. До 1939 року він належав до польської школи логіки та філософії. Того ж року Тарський оселився в Сполучених Штатах Америки, де жив і викладав до самої смерті. Його еміграція врятувала його від долі більшості членів родини, які загинули під час нацистської окупації Польщі. Помер він 26 жовтня 1983 року в Берклі, Сполучені Штати.
Тарський істотно вплинув на все логічне дослідження після Другої світової війни. Його наукові праці охоплювали теорію множин, багатозначну логіку, інтерпретованість, рівні мови, метамову та семантичні поняття. У 1941 році він опублікував працю «Вступ до логіки і методології дедуктивних наук», а в 1944 році — «Семантичне поняття істини і основи семантики».
Логіка, алгебра й теорія рішуваності
У 1924 році Альфред Тарський разом зі Стефаном Банахом довів, що кулю можна розділити й знову скласти у дві кулі такого самого або більшого розміру. Він сформулював рішувану теорію дійсних чисел і показав, що теорія додавання та множення для натуральних чисел є нерозв’язною, як це випливає з робіт Алонзо Черча і Курта Геделя. Тарський також зазначив, що повна теорія дійсних чисел не дає змоги визначити, чи є певне дійсне число натуральним. Окрім цього, він сформулював стислу версію геометрії евклідової площини, яка є рішуваною за умови рішуваності теорії дійсних чисел. У 1953 році Тарський разом із Анджеєм Мостовським і Абрахамом Робінсоном опублікував працю «Нерозв’язні теорії», де продемонстрував нерозв’язність теорії ґраток, абстрактної проективної геометрії та теорії некомутативних груп. У 1940-х роках він почав розробляти реляційну алгебру разом зі своїми учнями, а також розвинув циліндричні алгебри, пов’язані з логікою першого порядку.
Логіка, семантика й теорія моделей
Альфред Тарський вважається одним із найвидатніших логіків усіх часів поряд з Арістотелем, Готлобом Фреґе та Куртом Ґьоделем. Водночас його часто називають одним із найсильніших математиків серед цієї четвірки, а також наголошують, що він вів значно інтенсивнішу педагогічну діяльність, ніж інші троє. Серед його численних учнів була Юлія Робінсон. У 1941 році він опублікував англійською мовою працю «Вступ до логіки та методології дедуктивних наук». У цій і пов’язаних із нею працях Тарський сприяв утвердженню стандартної логіки першого порядку, заклавши на множинно-теоретичній основі методологію дедуктивних теорій.
Його семантичні методи завершилися формуванням теорії моделей, що розвивалася в 1950-х і 1960-х роках разом із учнями в Берклі. Саме ці методи перетворили метаматематику на строгую науку. Тарський також висунув ідею замінювати символи однієї теорії виразами іншої, щоб перекладати аксіоми в теореми. Теорію моделей він розумів як вивчення властивостей, що передаються через переклади між теоріями та порівняння їхніх обсягів. Крім того, він дав один із перших доказів теореми дедукції, яка має важливі застосування в математичній логіці та металогіці.
Початково Тарський підходив до логічного наслідку аксіоматично, визначаючи його через аксіоми, пов’язані з виведенням у логічному численні. Проте він визнав, що такий підхід не охоплює всіх інтуїтивних випадків логічного наслідку. У статті 1936 року «Про поняття логічного наслідку» він доводив, що висновок випливає логічно тоді і лише тоді, коли кожна інтерпретація, яка робить істинними посилки, робить істинним і висновок. Це пояснення спирається на семантичну теорію істини. Для застосування цього визначення до всіх випадків він вважав достатнім визнати логічними константами квантор загальності першого порядку, умовне речення, заперечення, дужки та тотожність. Водночас Тарський не запропонував достатнього критерію, щоб відрізнити логічні константи від нелогічних, і працював над цією проблемою протягом усього академічного життя. Наприкінці цього шляху він разом зі Стівеном Ґівантом запропонував двочастинне визначення логічних констант.
Семантична теорія істини
У 1933 році Альфред Тарський опублікував польською мовою статтю, в якій подав математичне визначення істини для формальних мов. Ця праця виходила з формалістичного підходу до математики, що наголошує на правилах маніпулювання знаками та виведення формул. Водночас Тарський показав, що для подальшого розвитку математики недостатньо самих лише формальних доведень: символи потрібно інтерпретувати в моделі.
У межах цієї теорії він відновлював класичне поняття істини як відповідності між реченнями та їхніми референтами, хоча зазначав, що класичний вираз цієї ідеї є радше метафорою. Більш точним, на його думку, було арістотелівське розуміння істини, хоча й воно не було повністю задовільним. Тарський також довів, що визначення істини слід обмежувати формальними мовами, які можна інтерпретувати в обмежених доменах, бо застосування класичного поняття істини до самореферентних мов спричиняє логічні суперечності, зокрема парадокс брехуна.
Праця мала значний відгук: у 1936 році вийшов впливовий німецький переклад під назвою «Дер Вахргайтсбегріф ін ден Шпрехен дер дедуктивен Дисциплінен», а 1956 року англійська версія була опублікована як розділ у книзі «Логіка, семантика, метаматематика». У 1944 році Тарський також підготував ненауковий виклад під назвою «Семантичне поняття істини і підвалини семантики».
Об’єктна мова і метамова
Непарадоксальне застосування поняття істини залежить від розрізнення між об’єктною мовою та метамовою. Об’єктна мова — це мова, для якої в семантичній теорії істини визначається поняття істини. Метамова — це мова, в якій визначається саме поняття істини і яка репрезентує об’єктну мову. Вирази в лапках є назвами речень об’єктної мови, поданими в метамові.
Умова матеріальної адекватності
Умова матеріальної адекватності, сформульована Альфредом Тарським, вимагає, щоб кожна теорія істини стверджувала: речення «P» є істинним тоді й лише тоді, коли P. У праці «Теорія семантична істини» ця вимога позначається як «Конвенція Т» або «Конвенція V». Для іспанського речення «La nieve es blanca» теорія істини повинна передбачати, що «La nieve es blanca» є істинним тоді й лише тоді, коли сніг білий. Ліва частина висловлювання після «тоді й лише тоді, коли» стосується самого виразу «La nieve es blanca», а права — реального стану, за якого сніг є білим. Такі відповідності вважаються еквівалентними в аристотелівському розумінні, яке Тарський прагнув прояснити, і становлять вимогу матеріальної адекватності для означення істини.
Семантична теорія істини
Використовуючи англійську мову як об’єктну, а іспанську з англійською — як метамову, Альфред Тарський формулював умову істинності для речення «Сніг білий»: воно є істинним в англійській мові тоді і лише тоді, коли сніг білий. Відповідно до семантичної теорії істини, іспаномовний мовці може перевірити істинність цього англійського речення, перекладаючи слова за допомогою англійсько-іспанського словника.
Семантична теорія істини
Альфред Тарський запропонував теорію істини насамперед для формальних мов і формалізованих висловлювань, а не для природних мов. У наведених прикладах 1’ і 1’’ використовуються природні мови — англійська та іспанська, — але сам Тарський не вважав за можливе сформулювати для природних мов матеріально адекватну теорію істини. Його підхід є семантичним, бо істинність залежить від референтів елементарних компонентів мови-об’єкта.
У цій теорії істинність складних речень визначається через істинність елементарних речень. Інтерпретація задається в метамові для таких елементарних речень, а відкриті речення розглядаються як складники мови, які задовольняються деякими об’єктами. Власне інтерпретація мови полягає у вказанні об’єктів, що задовольняють кожен компонент, а складні пропозиційні функції утворюються через логічне поєднання простих функцій і залежать від задоволення їхніх складових. Замкнені речення трактуються як пропозиційні функції, у яких на місці змінних стоять назви об’єктів; для них можна встановити істинність або хибність. Речення є істинним у певному множинному інтерпретуванні тоді, коли воно задовольняється всіма об’єктами в інтерпретації, і хибним тоді, коли не задовольняється жодним.
Тарський наголошував, що ні формула 1, ні підстановки змінних у 1 за допомогою речень та їхніх назв не можуть вважатися визначенням істини. Окремі визначення істини стосуються лише конкретних речень, а загальне визначення є логічною кон’юнкцією всіх таких часткових визначень. Воно не може бути побудоване лише через універсальне квантування в дусі твердження Тарського «для всіх P: “P” істинне тоді і тільки тоді, коли P», оскільки таке квантування охоплює речення, але не їхні назви. Самі інтерпретації P не дають шуканих еквівалентностей.
Важливим є й умова матеріальної адекватності: вона потрібна, щоб відсікти теорії істини, які не є еквівалентними. Альтернативні теорії мають приписувати тому самому поняттю істини ту саму екстенсію мови-об’єкта. Із виконанням умови Т можна встановити еквівалентність будь-якого цитованого істинного висловлювання в мові інтерпретації. Для називання речень мови-об’єкта не обов’язково користуватися лише лапками: підходять також написання, Ґеделеве нумерування та бітовий запис. Такі засоби називання визначають силу метамови.
Теорія Тарського дозволяє уникнути парадоксу брехуна, а також парадоксів Ґреллінга — Нельсона і Річарда. Вона вимагає відмови від теорії істини, придатної для будь-якої мови, і передбачає, що для вираження істини потрібна багатша мова, у якій можна сказати: «“t” є істинним» для кожної теореми t. Поняття «істинне» при цьому визначається за допомогою незаданого поняття «задоволення» і застосовується до всіх формалізованих мов, відомих на час формулювання, зокрема до логіки першого порядку.
